Bước tới nội dung

Danh sách vấn đề mở trong toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Danh sách các vấn đề mở trong toán học

Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung

[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài toán mở. Trong một số trường hợp, danh sách còn được đi kèm với giải thưởng cho ai giải nó đầu tiên.

Danh sách Số bài
toán
Số bài toán chưa giải
hoặc chưa giải hết
Người đưa Thời gian
Các bài toán của Hilbert[1] 23 15 David Hilbert 1900
Các bài toán của Landau[2] 4 4 Edmund Landau 1912
Các bài toán của Taniyama[3] 36 - Yutaka Taniyama 1955
24 câu hỏi của Thurston[4][5] 24 - William Thurston 1982
Các bài toán của Smale 18 14 Stephen Smale 1998
Các bài toán thiên niên kỷ 7 6[6] Viện toán học Clay 2000
Các bài toán của Simon 15 <12[7][8] Barry Simon 2000
Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century
dịch: Các bài toán mở cho toán học thế kỷ 21[9]
22 - Jair Minoro Abe, Shotaro Tanaka 2001
Các bài toán của DARPA[10][11] 23 - DARPA 2007

Các bài toán thiên niên kỷ

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong 7 bài toán thiên niên kỷ gốc được đặt bởi viện toán học Clay vào 2000, còn 6 bài vẫn chưa được giải vào thời điểm tháng 6, 2022:[6]

Bài toán thứ 7, giả thuyết Poincaré, đã được giải;[12] tuy nhiên, dạng tổng quát được gọi là giả thuyết Poincaré trơn 4-chiều hỏi rằng liệu một mặt cầu tôpô 4 chiều có hai hay nhiều hơn cấu trúc trơn không tương đương nhau được không?- đến nay vẫn chưa giải được.[13]

Hình học đại số

[sửa | sửa mã nguồn]

Câu hỏi mở

[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học vi phân

[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học rời rạc

[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học Euclid

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết nhóm

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Liệu có vô số nhóm Leinster?
  • Tìm các điều kiện cho các số tự nhiên m, n sao cho nhóm Burnside tự do B(m,n) hữu hạn? Cụ thể hơn, liệu B(2, 5) có hữu hạn?

Giả thuyết, bài toán mở

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Giả thuyết abc
  • Giả thuyết Pillai: cho bất kỳ , phương trình có hữu hạn số nghiệm khi không cùng bằng .
  • Bài toán Erdős–Moser: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ cho phương trình Erdős–Moser?
  • Bài toán Brocard: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ cho phương trình ?
  • Số nguyên nào có thể viết thành tổng của ba số lập phương?[21]
  • Giả thuyết Goormaghtigh trên các nghiệm cho phương trình với .
  • Giả thuyết Grimm: Cho dãy hợp số liên tiếp, liệu có thể gán mỗi hợp số một ước nguyên tố phân biệt?
  • Giả thuyết Hall: Cho bất kỳ , tồn tại một số hằng số sao cho hoặc trong đó .
  • Giả thuyết Scholz: Độ dài của xích cộng ngắn nhất cho ra có cận trên bằng với cộng độ dài của xích cộng ngắn nhất cho .
  • Bài toán Hilbert thứ 11: Phân loại các dạng toàn phương trên trường số đại số
  • Bài toán Hilbert thứ 12: Mở rộng định lý Kronecker–Weber trên mở rộng Abel của cho bất kỳ trường số

Câu hỏi mở

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số cộng tính

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Giả thuyết Beal rằng xét phương trình với , ba số nguyên phải có chung một số ước nguyên tố?
  • Giả thuyết Goldbach rằng có phải mọi số chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
  • Giả thuyết Lemoine rằng mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành tổng của một số nguyên tố lẻ và một số nửa nguyên tố chẵn?
  • Tính các giá trị g(k)G(k) của bài toán Waring?

Lý thuyết số đại số

[sửa | sửa mã nguồn]

Số nguyên tố

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Sudoku
    • Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải?
    • Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải và đồng thời tối tiểu?
  • Cho độ rộng của bàn tic-tac-toe, tìm số chiều nhỏ nhất sao cho bên X có chiến thuật chắc chắn thắng?[24]
  • Bài toán 3 điểm không cùng đường: Trên 1 hình vuông kẻ ô có kích thước n x n, có bao nhiêu điểm ta có thể đặt sao cho bất kỳ 3 điểm không nằm trên cùng 1 đường?
  • Tính các giá trị của các số Ramsey, cụ thể hơn là số ?

Đồ thị con

[sửa | sửa mã nguồn]

Tô màu và dán nhãn đồ thị

[sửa | sửa mã nguồn]
Một ví dụ của giả thuyết Erdős–Faber–Lovász: đồ thị lấy từ 4 clique 4 đỉnh, trong bất cứ hai trong số đó đều giao với nhau 1 đỉnh. Đồ thị có thể được tô 4 màu

Vẽ đồ thị

[sửa | sửa mã nguồn]

Đường đi và chu trình trong đồ thị

[sửa | sửa mã nguồn]

Một số bài toán khác

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Giả thuyết Cherlin-Zilber: Nhóm đơn có lý thuyết bậc nhất của nó ổn định trong là nhóm đơn đại số trên trường đóng đại số.
  • Giả thuyết trường ổn định: Mọi trường vô hạn có lý thuyết bậc nhất ổn định thì khả ly và đóng
  • Giả thuyết Vaught: Số lượng các mô hình đếm được của lý thuyết đầy đủ bậc nhất trong ngôn ngữ đếm được là hữu hạn, hoặc
  • Có phải mọi trường vô hạn đặc số không và tối thiểu đều đóng đại số? (Ở đây, "tối thiểu" nghĩa là mọi tập con định nghĩa được của cấu trúc này là hữu hạn hoặc đối hữu hạn.)
  • Lý thuyết trường các chuỗi Laurent trên quyết định được không? Nếu xét trên các đa thức trên thì sao?
  • Liệu có tồn tại logic L thoả mãn tính chất Beth và Δ-nội suy, đồng thời compact nhưng không thoả mãn tính chất nội suy?[36]
  • Xác định cấu trúc của cấp Keisler.[37][38]

Trong lý thuyết tô pô

[sửa | sửa mã nguồn]

Các bài toán đã giải từ 1995

[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết số

[sửa | sửa mã nguồn]

Thế kỷ 21

[sửa | sửa mã nguồn]

Thế kỷ 20

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết đồ thị

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết nhóm

[sửa | sửa mã nguồn]

Hình học

[sửa | sửa mã nguồn]

Thế kỷ 21

[sửa | sửa mã nguồn]

Thế kỷ 20

[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết khoa học máy tính

[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Thiele, Rüdiger (2005), “On Hilbert and his twenty-four problems”, trong Van Brummelen, Glen (biên tập), Mathematics and the historian's craft. The Kenneth O. May Lectures, CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, 21, tr. 243–295, ISBN 978-0-387-25284-1
  2. ^ Guy, Richard (1994), Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản thứ 2), Springer, tr. vii, ISBN 978-1-4899-3585-4, lưu trữ bản gốc ngày 23 tháng 3 năm 2019, truy cập ngày 22 tháng 9 năm 2016.
  3. ^ Shimura, G. (1989). “Yutaka Taniyama and his time”. Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186.
  4. ^ Friedl, Stefan (2014). “Thurston's vision and the virtual fibering theorem for 3-manifolds”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 116 (4): 223–241. doi:10.1365/s13291-014-0102-x. MR 3280572. S2CID 56322745.
  5. ^ Thurston, William P. (1982). “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry”. Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 6 (3): 357–381. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0. MR 0648524.
  6. ^ a b “Millennium Problems”. Bản gốc lưu trữ ngày 6 tháng 6 năm 2017. Truy cập ngày 20 tháng 1 năm 2015.
  7. ^ “Fields Medal awarded to Artur Avila”. Centre national de la recherche scientifique. ngày 13 tháng 8 năm 2014. Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 7 năm 2018. Truy cập ngày 7 tháng 7 năm 2018.
  8. ^ Bellos, Alex (ngày 13 tháng 8 năm 2014). “Fields Medals 2014: the maths of Avila, Bhargava, Hairer and Mirzakhani explained”. The Guardian. Lưu trữ bản gốc ngày 21 tháng 10 năm 2016. Truy cập ngày 7 tháng 7 năm 2018.
  9. ^ Abe, Jair Minoro; Tanaka, Shotaro (2001). Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century. IOS Press. ISBN 978-9051994902.
  10. ^ “DARPA invests in math”. CNN. ngày 14 tháng 10 năm 2008. Bản gốc lưu trữ ngày 4 tháng 3 năm 2009. Truy cập ngày 14 tháng 1 năm 2013.
  11. ^ “Broad Agency Announcement (BAA 07-68) for Defense Sciences Office (DSO)”. DARPA. ngày 10 tháng 9 năm 2007. Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 10 năm 2012. Truy cập ngày 25 tháng 6 năm 2013.
  12. ^ “Poincaré Conjecture”. Clay Mathematics Institute. Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 12 năm 2013.
  13. ^ “Smooth 4-dimensional Poincare conjecture”. Lưu trữ bản gốc ngày 25 tháng 1 năm 2018. Truy cập ngày 6 tháng 8 năm 2019.
  14. ^ Maulik, Davesh; Nekrasov, Nikita; Okounov, Andrei; Pandharipande, Rahul (ngày 5 tháng 6 năm 2004), Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory, I, arXiv:math/0312059, Bibcode:2003math.....12059M
  15. ^ Rosenberg, Steven (1997), The Laplacian on a Riemannian Manifold: An introduction to analysis on manifolds, London Mathematical Society Student Texts, 31, Cambridge: Cambridge University Press, tr. 62–63, doi:10.1017/CBO9780511623783, ISBN 978-0-521-46300-3, MR 1462892
  16. ^ Morris, Walter D.; Soltan, Valeriu (2000), “The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—a survey”, Bull. Amer. Math. Soc., 37 (4): 437–458, doi:10.1090/S0273-0979-00-00877-6, MR 1779413; Suk, Andrew (2016), “On the Erdős–Szekeres convex polygon problem”, J. Amer. Math. Soc., 30 (4): 1047–1053, arXiv:1604.08657, doi:10.1090/jams/869, S2CID 15732134
  17. ^ Guy, Richard K. (1983), “An olla-podrida of open problems, often oddly posed”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 196–200, doi:10.2307/2975549, JSTOR 2975549, MR 1540158
  18. ^ Finch, S. R.; Wetzel, J. E. (2004), “Lost in a forest”, American Mathematical Monthly, 11 (8): 645–654, doi:10.2307/4145038, JSTOR 4145038, MR 2091541
  19. ^ Arutyunyants, G.; Iosevich, A. (2004), “Falconer conjecture, spherical averages and discrete analogs”, trong Pach, János (biên tập), Towards a Theory of Geometric Graphs, Contemp. Math., 342, Amer. Math. Soc., Providence, RI, tr. 15–24, doi:10.1090/conm/342/06127, ISBN 9780821834848, MR 2065249
  20. ^ Wagner, Neal R. (1976), “The Sofa Problem” (PDF), The American Mathematical Monthly, 83 (3): 188–189, doi:10.2307/2977022, JSTOR 2977022, lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 20 tháng 4 năm 2015, truy cập ngày 14 tháng 5 năm 2014
  21. ^ Huisman, Sander G. (2016). "Newer sums of three cubes". arΧiv:1604.07746 [math.NT]. 
  22. ^ Dobson, J. B. (ngày 1 tháng 4 năm 2017). "On Lerch's formula for the Fermat quotient". p. 23. arΧiv:1103.3907v6 [math.NT]. 
  23. ^ Ribenboim, P. (2006). Die Welt der Primzahlen. Springer-Lehrbuch (bằng tiếng Đức) (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 242–243. doi:10.1007/978-3-642-18079-8. ISBN 978-3-642-18078-1.
  24. ^ “Higher-Dimensional Tic-Tac-Toe”. PBS Infinite Series. YouTube. ngày 21 tháng 9 năm 2017. Lưu trữ bản gốc ngày 11 tháng 10 năm 2017. Truy cập ngày 29 tháng 7 năm 2018.
  25. ^ Broersma, Hajo; Patel, Viresh; Pyatkin, Artem (2014), “On toughness and Hamiltonicity of $2K_2$-free graphs” (PDF), Journal of Graph Theory, 75 (3): 244–255, doi:10.1002/jgt.21734, MR 3153119, S2CID 1377980
  26. ^ Jaeger, F. (1985), “A survey of the cycle double cover conjecture”, Annals of Discrete Mathematics 27 – Cycles in Graphs, North-Holland Mathematics Studies, 27, tr. 1–12, doi:10.1016/S0304-0208(08)72993-1, ISBN 978-0-444-87803-8.
  27. ^ Bousquet, Nicolas; Bartier, Valentin (2019), “Linear Transformations Between Colorings in Chordal Graphs”, trong Bender, Michael A.; Svensson, Ola; Herman, Grzegorz (biên tập), 27th Annual European Symposium on Algorithms, ESA 2019, September 9-11, 2019, Munich/Garching, Germany, LIPIcs, 144, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, tr. 24:1–24:15, doi:10.4230/LIPIcs.ESA.2019.24, ISBN 9783959771245, S2CID 195791634
  28. ^ Chung, Fan; Graham, Ron (1998), Erdős on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems, A K Peters, tr. 97–99.
  29. ^ Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Geometry, Springer-Verlag, Problem G10.
  30. ^ Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2013), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 247, ISBN 978-0-486-31552-2, MR 2047103.
  31. ^ Babai, László (ngày 9 tháng 6 năm 1994). “Automorphism groups, isomorphism, reconstruction”. Handbook of Combinatorics. Bản gốc (PostScript) lưu trữ ngày 13 tháng 6 năm 2007.
  32. ^ Conway, John H., Five $1,000 Problems (Update 2017) (PDF), Online Encyclopedia of Integer Sequences, lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 13 tháng 2 năm 2019, truy cập ngày 12 tháng 2 năm 2019
  33. ^ For background on the numbers that are the focus of this problem, see articles by Eric W. Weisstein, on pi ([1] Lưu trữ 2014-12-06 tại Wayback Machine), e ([2] Lưu trữ 2014-11-21 tại Wayback Machine), Khinchin's Constant ([3] Lưu trữ 2014-11-05 tại Wayback Machine), irrational numbers ([4] Lưu trữ 2015-03-27 tại Wayback Machine), transcendental numbers ([5] Lưu trữ 2014-11-13 tại Wayback Machine), and irrationality measures ([6] Lưu trữ 2015-04-21 tại Wayback Machine) at Wolfram MathWorld, all articles accessed ngày 15 tháng 12 năm 2014.
  34. ^ Michel Waldschmidt, 2008, "An introduction to irrationality and transcendence methods," at The University of Arizona The Southwest Center for Arithmetic Geometry 2008 Arizona Winter School, March 15–19, 2008 (Special Functions and Transcendence), see [7] Lưu trữ 2014-12-16 tại Wayback Machine, accessed ngày 15 tháng 12 năm 2014.
  35. ^ John Albert, posting date unknown, "Some unsolved problems in number theory" [from Victor Klee & Stan Wagon, "Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory"], in University of Oklahoma Math 4513 course materials, see [8] Lưu trữ 2014-01-17 tại Wayback Machine, accessed ngày 15 tháng 12 năm 2014.
  36. ^ Makowsky J, "Compactness, embeddings and definability," in Model-Theoretic Logics, eds Barwise and Feferman, Springer 1985 pps. 645–715.
  37. ^ Keisler, HJ (1967). “Ultraproducts which are not saturated”. J. Symb. Log. 32 (1): 23–46. doi:10.2307/2271240. JSTOR 2271240. S2CID 250345806.
  38. ^ Malliaris, Maryanthe; Shelah, Saharon (10 August 2012). "A Dividing Line Within Simple Unstable Theories". arΧiv:1208.2140 [math.LO].  Malliaris, M.; Shelah, S. (2012). "A Dividing Line within Simple Unstable Theories". arΧiv:1208.2140 [math.LO]. 
  39. ^ Agol, Ian (2004). "Tameness of hyperbolic 3-manifolds". arΧiv:math/0405568. 
  40. ^ Metsänkylä, Tauno (ngày 5 tháng 9 năm 2003). “Catalan's conjecture: another old diophantine problem solved” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 41 (1): 43–57. doi:10.1090/s0273-0979-03-00993-5. ISSN 0273-0979. Lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 4 tháng 3 năm 2016. Truy cập ngày 13 tháng 11 năm 2015. The conjecture, which dates back to 1844, was recently proven by the Swiss mathematician Preda Mihăilescu.
  41. ^ Lafforgue, Laurent (1998), “Chtoucas de Drinfeld et applications” [Drinfelʹd shtukas and applications], Documenta Mathematica (bằng tiếng Pháp), II: 563–570, ISSN 1431-0635, MR 1648105, lưu trữ bản gốc ngày 27 tháng 4 năm 2018, truy cập ngày 18 tháng 3 năm 2016
  42. ^ Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem” (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 10 tháng 5 năm 2011. Truy cập ngày 6 tháng 3 năm 2016.
  43. ^ Taylor R, Wiles A (1995). “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”. Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Bản gốc lưu trữ ngày 16 tháng 9 năm 2000.
  44. ^ Park, Jinyoung; Pham, Huy Tuan (ngày 31 tháng 3 năm 2022). "A Proof of the Kahn-Kalai Conjecture". arΧiv:2203.17207 [math.CO]. 
  45. ^ Dujmović, Vida; Eppstein, David; Hickingbotham, Robert; Morin, Pat; Wood, David R. (tháng 8 năm 2021). “Stack-number is not bounded by queue-number”. Combinatorica. 42 (2): 151–164. arXiv:2011.04195. doi:10.1007/s00493-021-4585-7. S2CID 226281691.
  46. ^ He, Dawei; Wang, Yan; Yu, Xingxing (ngày 11 tháng 12 năm 2019). “The Kelmans-Seymour conjecture I: Special separations”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 144: 197–224. arXiv:1511.05020. doi:10.1016/j.jctb.2019.11.008. ISSN 0095-8956. S2CID 29791394.
  47. ^ He, Dawei; Wang, Yan; Yu, Xingxing (ngày 11 tháng 12 năm 2019). “The Kelmans-Seymour conjecture II: 2-Vertices in K4−”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 144: 225–264. arXiv:1602.07557. doi:10.1016/j.jctb.2019.11.007. ISSN 0095-8956. S2CID 220369443.
  48. ^ He, Dawei; Wang, Yan; Yu, Xingxing (ngày 9 tháng 12 năm 2019). “The Kelmans-Seymour conjecture III: 3-vertices in K4−”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 144: 265–308. arXiv:1609.05747. doi:10.1016/j.jctb.2019.11.006. ISSN 0095-8956. S2CID 119625722.
  49. ^ He, Dawei; Wang, Yan; Yu, Xingxing (ngày 19 tháng 12 năm 2019). “The Kelmans-Seymour conjecture IV: A proof”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 144: 309–358. arXiv:1612.07189. doi:10.1016/j.jctb.2019.12.002. ISSN 0095-8956. S2CID 119175309.
  50. ^ Zang, Wenan; Jing, Guangming; Chen, Guantao (ngày 29 tháng 1 năm 2019). "Proof of the Goldberg–Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs" (en). arΧiv:1901.10316v1 [math.CO]. 
  51. ^ Abdollahi A., Zallaghi M. (2015). “Character sums for Cayley graphs”. Communications in Algebra. 43 (12): 5159–5167. doi:10.1080/00927872.2014.967398. S2CID 117651702.
  52. ^ Huh, June (2012). “Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs”. Journal of the American Mathematical Society. 25 (3): 907–927. arXiv:1008.4749. doi:10.1090/S0894-0347-2012-00731-0.
  53. ^ Chalopin, Jérémie; Gonçalves, Daniel (2009). “Every planar graph is the intersection graph of segments in the plane: extended abstract”. Trong Mitzenmacher, Michael (biên tập). Proceedings of the 41st Annual ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 2009, Bethesda, MD, USA, May 31 - ngày 2 tháng 6 năm 2009. ACM. tr. 631–638. doi:10.1145/1536414.1536500.
  54. ^ Aharoni, Ron; Berger, Eli (2009). “Menger's theorem for infinite graphs”. Inventiones Mathematicae. 176 (1): 1–62. arXiv:math/0509397. Bibcode:2009InMat.176....1A. doi:10.1007/s00222-008-0157-3.
  55. ^ Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture: With an Appendix by Warren Dicks" Mem. Amer. Math. Soc., 233 (2015), no. 1100.
  56. ^ Mineyev, Igor (2012). “Submultiplicativity and the Hanna Neumann conjecture”. Annals of Mathematics. Second Series. 175 (1): 393–414. doi:10.4007/annals.2012.175.1.11. MR 2874647.
  57. ^ Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), “Algebraic K-theory and descent for blow-ups”, Inventiones Mathematicae, 211 (2): 523–577, arXiv:1611.08466, Bibcode:2018InMat.211..523K, doi:10.1007/s00222-017-0752-2, MR 3748313, S2CID 253741858
  58. ^ Song, Antoine. “Existence of infinitely many minimal hypersurfaces in closed manifolds” (PDF). www.ams.org. Truy cập ngày 19 tháng 6 năm 2021. ..I will present a solution of the conjecture, which builds on min-max methods developed by F. C. Marques and A. Neves..
  59. ^ “Antoine Song | Clay Mathematics Institute”. ...Building on work of Codá Marques and Neves, in 2018 Song proved Yau's conjecture in complete generality
  60. ^ Wolchover, Natalie (ngày 11 tháng 7 năm 2017), “Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine, Bản gốc lưu trữ ngày 6 tháng 8 năm 2017, truy cập ngày 18 tháng 7 năm 2017
  61. ^ Marques, Fernando C.; Neves, André (2013). “Min-max theory and the Willmore conjecture”. Annals of Mathematics. 179 (2): 683–782. arXiv:1202.6036. doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. S2CID 50742102.
  62. ^ Guth, Larry; Katz, Nets Hawk (2015). “On the Erdos distinct distance problem in the plane”. Annals of Mathematics. 181 (1): 155–190. arXiv:1011.4105. doi:10.4007/annals.2015.181.1.2.
  63. ^ Shestakov, Ivan P.; Umirbaev, Ualbai U. (2004). “The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables”. Journal of the American Mathematical Society. 17 (1): 197–227. doi:10.1090/S0894-0347-03-00440-5. MR 2015334.
  64. ^ Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Dat Tat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Ky, Vu; Zumkeller, Roland (2017). “A formal proof of the Kepler conjecture”. Forum of Mathematics, Pi. 5: e2. arXiv:1501.02155. doi:10.1017/fmp.2017.1.
  65. ^ Linkletter, David (ngày 27 tháng 12 năm 2019). “The 10 Biggest Math Breakthroughs of 2019”. Popular Mechanics. Truy cập ngày 20 tháng 6 năm 2021.
  66. ^ Brendle, Simon (2013). “Embedded minimal tori in and the Lawson conjecture”. Acta Mathematica. 211 (2): 177–190. arXiv:1203.6597. doi:10.1007/s11511-013-0101-2.
  67. ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2015). “The good pants homology and the Ehrenpreis conjecture”. Annals of Mathematics. 182 (1): 1–72. arXiv:1101.1330. doi:10.4007/annals.2015.182.1.1.
  68. ^ Austin, Tim (tháng 12 năm 2013). “Rational group ring elements with kernels having irrational dimension”. Proceedings of the London Mathematical Society. 107 (6): 1424–1448. arXiv:0909.2360. Bibcode:2009arXiv0909.2360A. doi:10.1112/plms/pdt029. S2CID 115160094.
  69. ^ Lurie, Jacob (2009). “On the classification of topological field theories”. Current Developments in Mathematics. 2008: 129–280. arXiv:0905.0465. Bibcode:2009arXiv0905.0465L. doi:10.4310/cdm.2008.v2008.n1.a3. S2CID 115162503.
  70. ^ “Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman” (PDF) (Thông cáo báo chí). Clay Mathematics Institute. ngày 18 tháng 3 năm 2010. Lưu trữ bản gốc ngày 22 tháng 3 năm 2010. Truy cập ngày 13 tháng 11 năm 2015. The Clay Mathematics Institute hereby awards the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture to Grigoriy Perelman.